Una opción, enviar al correo electrónico.
La segunda opción, guardar en la tarjeta sd como un archivo xml y luego copiar en el ordenador.
Estos son sólo dos de las aplicaciones de copia de seguridad de sms disponibles en el mercado. Lea los comentarios y elegir el más adecuado para sus necesidades.
Yo uso Google Voice para SMS para cada mensaje que ya están en los servidores de Google es. Si quiero una copia de seguridad de mi PC, puedo usar Google Take-out. Sin cargos por mensajes y SMS utiliza muy poco ancho de banda por lo que incluso un mero 10 MB por mes es suficiente para que los mensajes de texto prácticamente ilimitado.
También puede seguir esta guía para lograrlo:

http://www.ipubsoft.es/android/transfer-text-messages-from-android-to-computer.html